Vinkelräta polynom

Hör och häpna, man kan faktiskt definiera vinklar mellan polynom! I denna uppgift får du en lite försmak av hur detta kan gå till.

Iden kommer från situationen med vektorer i planet (dvs pilar i planet). Om u och v är två sådana pilar så skulle vi kunna definera ett tal u \cdot v = cos \alpha där \alpha är vinkeln mellan u och v om de utgår från samma punkt. (Anm. Den som känner till den normala skalärprodukten ser att definitionen ovan är olämplig , men den räcker för vinkelräthet).

Självklart gäller nu

u \cdot v = 0 precis då vektorerna är vinkelräta.

Låt p och q vara två polynom och definiera

p \cdot q = \int_{-1}^{1} p(x)q(x) dx

och BESTÄM ATT

p och q är vinkelräta precis då p \cdot q = 0.

a) Låt p_0(x) = 1 och bestäm ett förstagradspolynom p_1 som är vinkelrätt mot p_0. Hur många sådana polynom finns det förresten? Välj det enklaste till uppgift b).

b) Bestäm ett andragradspolynom p_2 som är vinkelrätt mot både p_0 och p_1. Hur många sådana polynom finns det? Vilket är enklast?

c) Polynomen som konstrueras på detta sätt kallas Legendrepolynom. Googla på dessa och ta reda på mer om dem. Är t.ex. ditt val av p_2 i b) samma som det tredje Legendrepolynomet. Varför eller varför inte?

Handledning