Uppgift

INLEDNING
Den här uppgiften handlar om det berömda talet Φ = \frac{\sqrt{5}+1}{2} resp. (likvärdigt) φ = \frac{\sqrt{5}-1}{2} ; (Phidias-tal; förhållandet, resp. det reciproka förhållandet, i det gyllene snittet, den "gudomliga proportionen"). Talet Φ (phi) är jämte π (pi) ett av de viktigaste talen. I den här uppgiften skall du visa några egenskaper av Φ. Huvudsakligen är det en övning i bråkräkning.

Några egenskaper av Φ, φ :

1. Låt a, b vara godtyckliga positiva reella tal. Visa:
\frac{a+b}{b}=\frac{b}{a}\Rightarrow \frac{b}{a}=\phi
eller: \frac{a}{b-a}=\frac{b}{a}\Rightarrow \frac{b}{a}=\phi
eller: b^{2}-a^{2}=ab \Rightarrow \frac{b}{a}=\phi
Tolka resultatet geometriskt.

2. Visa: Φφ = 1; φ = Φ-1 = 1/Φ ; Φ= φ + 1 = 1/φ = 1/Φ + 1.

3. Visa \phi^{2}-\phi=\varphi^{2}+\varphi=\frac{1}{\phi^{2}}+\frac{1}{\phi}=\frac{1}{\varphi^{2}}-\frac{1}{\varphi}=1 .

Handledning