Fermat bestämmer max

På Fermats tid var derivator, åtminstone i dagens tappning, okända. Fermat hade dock en metod för att bestämma maximum och minimum till polynom. Följande uppgift illustrerar denna metod med ett exempel.

Låt p(x) = kx^2-x^3 där k är ett positivt tal.

a) Övertyga dig om att p har ett maximum i intervallet 0<x<k, UTAN att änvända derivata.

b) Låt a och b vara olika tal sådana att p(a)=p(b). Sätt in a och b i p och förenkla vänsterledet i p(a)-p(b)=0. Observera att a-b är en faktor i vänsterledet. Eftersom a-b är nollskilt kan denna faktor delas bort. Du har nu ett samband mellan a och b som innebär att p(a) = p(b), hur ser det ut?

c) Enligt Fermat finner vi max/min om vi i det förenklade uttrycket i b) sätter a=b. Varför? Vad blir sambandet? Var har p sitt (lokala) maximum?

d) I b) förutsätter vi att a och b är olika, men i c) att de är lika. Är detta ok?

e) Fermats metod ger såklart samma maximivärde som "vår" metod med derivata. I själva verkat är Fermats metod bara vår "derivatametod" i annan skepnad. Övertyga dig om detta.

Handledning