Belopp
DEFINITION
För ett reellt tal x definieras |x|, "beloppet av x", genom
\left\vert x \right\vert =\left\{ \begin{array}{c}-x \text{, då } x<0 \\0 \text{, \ då } x=0 \\ x \text{, \ då \ } x>0 \end{array} \right. .
Geometriskt innebörd
Representeras de reella talen som punkter på (den reella) tallinjen så anger |x| avståndet (i längdenheter, l.e.) mellan punkten x och origo.
EXEMPEL
Punkterna 3 och -3 ligger 3 l.e. från origo: |3| = |-3| = 3.
UPPGIFTER
A. förberedande uppgifter
1. Visa att för reella tal x, a, A, A > 0 gäller
a) \ 0\leq\left\vert x\right\vert=\left\vert -x\right\vert .
b) \ \left\vert\ x\right\vert \leq A\Leftrightarrow-A\leq x\leq A, \ \left\vert x\right\vert \geq A\Leftrightarrow (A\leq x\text{ eller } x\leq -A) .
c) \ \pm x\leq \left\vert x\right\vert .
d) \ \left\vert x-a\right\vert = \left\vert a-x\right\vert =\text{ avståndet mellan } x \text{ och } a .
2. Lös (dvs. "bestäm samtliga reella x som satisfierar")
a) \ \left\vert x-2\right\vert = 3 .
b) \ \left\vert x+3\right\vert = 2 .
c) \ \left\vert x-3\right\vert < 1 .
B. vanliga uppgifter
3. Visa att för reella x, y gäller
a) \ \left\vert x\cdot y\right\vert =\left\vert x\right\vert \cdot\left\vert y\right\vert .
b) \ \left\vert \frac{x}{y}\right\vert = \frac{\left\vert x\right\vert}{ \left\vert y\right\vert} \ (y\neq 0) .
c) \ \left\vert x + y\right\vert \leq\left\vert x\right\vert + \left\vert y\right\vert , diskutera när det gäller likhet.
d) \ \left\vert x - y\right\vert \geq \left\vert \left\vert x\right\vert - \left\vert y\right\vert\right\vert .
4. Lös
a) \ \left\vert 2x+3\right\vert > 5 .
b) \ \left\vert x-1\right\vert = \left\vert x-3\right\vert .
c) \frac{\left\vert x-1\right\vert}{\left\vert x-3\right\vert} \geq 2 .
d) \ 2\left\vert x+5\right\vert +4\left\vert x-4\right\vert =5\left\vert\ x+1\right\vert (eller \ 2\left\vert x+5\right\vert +4\left\vert x-4\right\vert <5\left\vert\ x+1\right\vert ).
C. mera avanverade uppgifter
Beloppet för punkter (vektorer) i planet (för komplexa tal):
För två punkter P1 = (x,y) och P2 = (a,b) i planet (för två ortsvektorer \bf{ x } =\overrightarrow{OP_{1}}=(x,y) och \bf{a}=\overrightarrow{OP_{2}}=(a,b) ,
för två komplexa tal \bf{x}=x+iy och \bf{a}=a+ib ) är
\left\vert \bf{x}\right\vert = \sqrt{x^{2}+y^{2}} längden av vektorn \bf{x}=\overrightarrow{OP_{1}}
( = avståndet mellan punkten P1 och origo),
\left\vert \bf x-\bf a\right\vert = \sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}} avståndet mellan x och a (Pytagoras, rita!).
5. Visa att för vektorer i planet (för komplexa tal) x , y gäller
a) \ 0\leq \left\vert \bf{x}\right\vert = \left\vert -\bf{x}\right\vert .
b) Reglerna i uppg. 3 gäller för komplexa tal x , y ; 3c och 3d gäller för vektorer x , y .
c) För komplexa tal x gäller \left\vert \bf{x}\right\vert =\left\vert \overline{\bf{x}}\right\vert=\sqrt{\bf{x}}\cdot \overline{\bf{x}} ( \overline{\bf{x}}=x-iy\text{ då }\bf{x}=x+iy ).
d) Lös \ \left\vert \bf{x}-(1,2)\right\vert<\frac{1}{2} .